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I diagrammi di Nyquist o diagrammi polari

 
Per tracciare  quantitativamente il diagramma di Nyquist della F(s) è necessario calcolare il modulo e la fase di F(jw) per un gran numero di valori di w e riportare i punti corrispondenti sul piano immagine Re[F(jw)],Im[F(jw)] . Se il sistema in catena aperta è stabile , ed ammette quindi risposta a regime per stimoli sinusoidali , queste grandezze possono essere rilevate sperimentalmente costruendo la risposta armonica. 
Un ottimo strumento che implementa tale calcolo è il  Control System Toolbox per Matlab , costituito da un insieme di funzioni appositamente dedicate all'analisi e alla sintesi dei sistemi di controllo. Fra queste funzioni vi è  Nyquist(tf(num,den)) , che riceve due vettori ( num e den ) contenenti i coefficienti del polinomio a numeratore e denominatore della F(s) e plotta il relativo diagramma di Nyquist :  tf sta per  transfer function ed è una delle funzioni a disposizione del Control System Toolbox per definire un sistema lineare stazionario ; le altre funzioni per la costruzione di un sistema lineare stazionario sono  Grigio 94 Mocassini 94 Amato pietra Donne Legero Delle zpk (  modello zero-pole-gain ) ,  ssl Nero Avvio Crios Me6 4 Negro Mexicana Messicano xAf0aqI (  modello in spazio di stato ) ,  frd (  Legero Delle pietra Mocassini 94 Grigio Donne Amato 94 frequency response data , che crea un modello a partire dalla risposta in frequenza del sistema ) . 
Non è sempre necessario, però, tracciare il diagramma quantitativo :  per determinare la stabilità del sistema a ciclo chiuso, infatti, è sufficiente conoscere il numero di giri che il diagramma di Nyquist compie attorno al punto critico; pertanto ci si può accontentare di un andamento qualitativo , prestando attenzione alla scala e al dato quantitativo solo nell'intorno di -1+j0 ; elencheremo ora un certo numero di regole utili al tracciamento del diagramma di Nyquist secondo questo principio : 
1) Il diagramma di Nyquist è simmetrico rispetto all'asse reale , perché i sistemi lineari stazionari sono rappresentati da funzioni di trasferimento razionali a coefficienti reali , per le quali F(-jw)=F*(jw) . Per ottenere il diagramma completo è sufficiente quindi tracciare il semi-diagramma per w>0 e ribaltarlo rispetto all'asse reale. Questo spiega perché il diagramma di Nyquist può essere tracciato sperimentalmente a partire dalla risposta armonica : per le w positive, modulo e fase della F(jw) possono essere ricavate stimolando i blocchi della catena diretta con ingressi sinusoidali e rilevando l'attenuazione e lo sfasamento dell'uscita. Per le frequenze negative questo non è ovviamente possibile e i punti corrispondenti nel diagramma di Nyquist non hanno significato fisico, ma pura valenza matematica . Grazie a questa simmetria è' comunque possibile ricavarli da quelli a frequenze reali mediante ribaltamento.
2) Se F(s) è una funzione razionale strettamente propria, la semicirconferenza di raggio infinito che circonda il semipiano Re>0 si mappa nell'origine di Re[F(jw)],Im[F(jw)] ;se invece numeratore e denominatore hanno lo stesso grado ( ricordiamo che le funzioni razionali improprie non sono fisicamente realizzabili ) , la semicirconferenza si mappa in un punto finito ottenibile come:
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 .
Per calcolare la fase con cui il diagramma di Nyquist arriva in questo punto è sufficiente ricordare che , per  , ciascuno zero di ordine k contribuisce con la fase  , mentre ciascun polo di ordine k contribuisce con la fase . Complessivamente, quindi, il diagramma di Nyquist arriva nel punto considerato con la fase
,
dove n è il grado del denominatore della F(s) ed m il grado del numeratore.
3) In w=0 il diagramma di Nyquist parte dai seguenti punti :
  3a) dall'asse reale (fase nulla) , con modulo pari al guadagno statico , se la F(s) non presenta né integratori (poli nulli ) né derivatori (zeri nulli ) ;
 
3b) da un punto all'infinito , con quadrante determinato dal numero di integratori ,  se la F(s) presenta poli nulli . Se ad esempio si ha un solo integratore , il diagramma di Nyquist, per w=0 , partirà dall'asse immaginario con modulo  . Se invece gli integratori sono due, il diagramma partirà da un punto che diverge verso la direzione negativa dell'asse reale , ecc ;
 
3c) dall'origine del piano complesso ,  se la F(s) presenta derivatori. La fase con cui il diagramma parte da questo punto , dipende, come per il caso 3b , dal numero di derivatori. Detto k il numero di zeri nulli , la fase iniziale sarà
 .
4) Un altro punto significativo per tracciare qualitativamente il diagramma di Nyquist è il limite per  : questo punto permette infatti di intuire in che direzione muove il diagramma di Nyquist per andare dalla frequenza nulla a frequenza infinita. Se non si vuole calcolare esplicitamente il limite , è sufficiente tenere conto delle costanti di tempo di poli e zeri della f.d.t. e valutare il modulo per una frequenza che corrisponda ad un tempo sufficientemente maggiore della costante di tempo più grande.
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Tracciamento del diagramma di Nyquist per una semplice f.d.t.

Per esemplificare l'utilizzo delle regole sopra descritte , presentiamo ora i diagrammi di Nyquist di una funzione di trasferimento elementare , che presenta un solo polo reale negativo.
DIAGRAMMA POLARE DI UNA F.D.T. CON UN POLO REALE NEGATIVO : Prendiamo ad esempio un polo in -1 e guadagno statico unitario , per cui la funzione di trasferimento è :
Per quanto detto al punto 2) , il  è nullo e la fase di F(s) per frequenze infinite è  : il diagramma di Nyquist alle alte frequenze tende all'origine del piano caratteristico e vi arriva tangente al semiasse immaginario negativo, come mostra la figura 1.
La funzione di trasferimento non presenta né zeri né poli nulli e il guadagno statico è 1 , pertanto per w=0 il diagramma parte dal punto 1+j0 ; per  la fase della f.d.t. tende a valori negativi ( si pensi al diagramma di Bode di un sistema con un solo polo negativo ) , quindi il diagramma di Nyquist si sposta da 1+j0 verso il quarto quadrante , come mostrato in figura 2.
Da quanto si è detto sul comportamento della f.d.t. per  , anche alle alte frequenze il diagramma di Nyquist resta nel quarto quadrante : si può intuire che esso resta interamente contenuto in questo quadrante con un andamento regolare del tipo indicato in figura 3.
Si può concludere , pertanto, che un sistema di controllo con un solo polo negativo in catena diretta sarà stabile in catena chiusa qualunque siano:
1) la costante di retroazione k : il diagramma polare è infatti contenuto interamente entro il primo e quarto quadrante e non circonderà mai alcun punto -1/k+j0 , indipendentemente dal valore finito di k ; 
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2) il guadagno statico : si può notare , infatti , che se avessimo avuto una funzione del tipo Kst/(s+p) sarebbe variato il punto di intersezione fra il diagramma di Nyquist e il semiasse reale positivo, ma il diagramma stesso sarebbe comunque stato interamente compreso nel 1° e 4° quadrante, senza possibilità di circondare il punto critico.
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